Wielu studentów studiujących zaawansowaną matematykę na kursach zaawansowanych prawdopodobnie zastanawiało się: gdzie w praktyce stosowane są równania różniczkowe (DE)? Z reguły kwestia ta nie jest omawiana na wykładach, a nauczyciele natychmiast przystępują do rozwiązania teorii sterowania, nie wyjaśniając uczniom stosowania równań różniczkowych w prawdziwym życiu. Spróbujemy wypełnić tę lukę.
Zaczynamy od zdefiniowania równania różniczkowego. Zatem równanie różniczkowe jest równaniem, które wiąże wartość funkcji pochodnej z samą funkcją, wartościami zmiennej niezależnej i pewnymi liczbami (parametrami).
Najczęstszym obszarem, w którym stosuje się równania różniczkowe, jest matematyczny opis zjawisk naturalnych. Są one również wykorzystywane do rozwiązywania problemów, w których niemożliwe jest ustanowienie bezpośredniego związku między niektórymi wartościami opisującymi proces. Takie zadania powstają w biologii, fizyce i ekonomii.
W biologii:
Pierwszym istotnym modelem matematycznym opisującym społeczności biologiczne był model Lotka-Volterra. Opisuje populację dwóch współdziałających gatunków. Pierwszy z nich, zwany drapieżnikami, umiera zgodnie z prawem x '= –ax (a> 0) pod nieobecność drugiego, a drugi ofiara, pod nieobecność drapieżników, mnoży się bez ograniczeń zgodnie z prawem Malthusa. Interakcje tych dwóch gatunków modeluje się w następujący sposób. Ofiary giną w liczbie równej liczbie spotkań drapieżników i ofiar, która w tym modelu zakłada się, że jest proporcjonalna do liczby obu populacji, tj. Równa dxy (d> 0). Dlatego y '= przez - dxy. Drapieżniki rozmnażają się w tempie proporcjonalnym do liczby zjadanych ofiar: x '= –ax + cxy (c> 0). Układ równań
x '= –ax + cxy, (1)
y '= przez - dxy, (2)
opisując taką populację, drapieżnik jest ofiarą i nazywa się systemem tac - Volterra (lub modelem).
W fizyce:
Drugie prawo Newtona można zapisać w postaci równania różniczkowego
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), gdzie m jest masą ciała, x jest jego współrzędną, F (x, t) jest siłą działającą na ciało o współrzędnej x w czasie t. Jego rozwiązaniem jest trajektoria ciała pod działaniem wskazanej siły.
